Când este un grup abelian ciclic?

2024 Autor: Fiona Howard | [email protected]. Modificat ultima dată: 2024-01-10 06:42

În mod informal, un grup este ciclic dacă este generat de un singur element. Este abelian dacă înmulțirea face naveta. Un grup este ciclic dacă poate fi generat de un singur element.

Este un grup abelian ciclic?

Toate grupurile ciclice sunt abeliene, dar un grup abelian nu este neapărat ciclic. Toate subgrupurile unui grup abelian sunt normale. Într-un grup abelian, fiecare element este într-o clasă de conjugație în sine, iar tabelul de caractere implică puteri ale unui singur element cunoscut sub numele de generator de grup.

Cum demonstrezi că un grup abelian este ciclic?

Dovada

1. Fie G un grup ciclic cu un generator g∈G. Și anume, avem G=⟨g⟩ (fiecare element din G este o putere a lui g.)
2. Fie a și b elemente arbitrare în G. Atunci există n, m∈Z astfel încât a=gn și b=gm.
3. Deci obținem ab=ba pentru a arbitrar, b∈G. Astfel G este un grup abelian.

Cum știi dacă un grup este ciclic?

4 Răspunsuri. Un grup finit este ciclic dacă, și doar dacă, are exact un subgrup al fiecărui divizor al ordinului său. Deci, dacă găsiți două subgrupuri de aceeași ordine, atunci grupul nu este ciclic și asta vă poate ajuta uneori.

Ce este grupul ciclic explicat printr-un exemplu?

De exemplu, (Z/6Z)^×={1, 5} , iar din moment ce 6 este de două ori un prim impar, aceasta este un grup ciclic. … Când (Z/nZ)^× este ciclic, generatorii săi se numesc rădăcini primitive modulo n. Pentru un număr prim p, grupul (Z/pZ)^{× este întotdeauna ciclic, constând din elementele nenule ale câmpului finit de ordin p.}