Dacă A este o matrice m × n, atunci ATA și AAT au aceleași valori proprii diferite de zero … Prin urmare, Ax este un vector propriu al AAT corespunzător valorii proprii λ. Un argument analog poate fi folosit pentru a arăta că fiecare valoare proprie diferită de zero a AAT este o valoare proprie a ATA, completând astfel demonstrația.
Valorile proprii ale AAT și ATA sunt aceleași?
Matricele AAT și ATA au aceleași valori proprii diferite de zero. Secțiunea 6.5 a arătat că vectorii proprii ai acestor matrici simetrice sunt ortogonali.
Este ATA la fel cu AAT?
Deoarece AAT și ATA sunt reale simetrice, ele pot fi diagonalizate cu matrici ortogonale. Din afirmația anterioară rezultă (deoarece multiplicitățile geometrice și algebrice coincid) că AAT și ATA au aceleași valori proprii.
Are ATA valori proprii distincte?
Adevărat. De exemplu, dacă A= 1 2 3 2 4 −1 3 −1 5 , atunci ecuația caracteristică det(A − λI)=−25 − 15λ + 10λ2 − λ3=0 nu are rădăcină repetată. Prin urmare, toate valorile proprii ale lui A sunt distincte iar A este diagonalizabilă. 3.35 Pentru orice matrice reală A, AtA este întotdeauna diagonalizabilă.
Pot diferiți vectori proprii să aibă aceeași valoare proprie?
Doi vectori proprii diferiți corespunzători aceleiași Valoare proprii sunt întotdeauna dependenți liniar. Doi vectori proprii diferiți corespunzători aceleiași valori proprii sunt întotdeauna dependenți liniar.
