Exemplu: inelul Z al numerelor întregi gaussiene este un modul Z generat finit, iar Z este Noetherian. După teorema anterioară, Z este un inel noetherian. Teoremă: Inelele fracțiilor de inele noetheriene sunt noetheriene.
Este Z X un inel noetherian?
Inelul Z[X, 1 /X] este noetherian deoarece este izomorf cu Z[X, Y]/(XY − 1).
De ce este Z Noetherian?
Dar există numai un număr finit de idealuri în Z care conțin I1, deoarece corespund idealurilor inelului finit Z/(a) după Lema 1.21. Prin urmare, lanțul nu poate fi infinit de lung și, prin urmare, Z este noetherian.
Ce este un domeniu Noetherian?
Orice inel ideal principal, cum ar fi numerele întregi, este noetherian deoarece fiecare ideal este generat de un singur elementAceasta include domeniile ideale principale și domeniile euclidiene. Un domeniu Dedekind (de exemplu, inele de numere întregi) este un domeniu noetherian în care fiecare ideal este generat de cel mult două elemente.
Cum demonstrezi că un inel este noetherian?
Teorema Un inel R este noetherian dacă și numai dacă fiecare mulțime nevidă de idealuri a lui R conține un element maxim Demonstrație ⇐=Fie I1 ⊆ I2 ⊆··· un lanț ascendent de idealuri ale lui R. Puneți S={I1, I2, …}. Dacă fiecare set nevid de idealuri conține un element maxim, atunci S conține un element maxim, să spunem IN.
