Teorema 1 Fiecare secvență de numere reale Cauchy converge la o limită.
Cum găsiți limita unei secvențe Cauchy?
Demonstrați: limita unei secvențe Cauchy an=limn→∞an.
Fiecare secvență Cauchy converge?
Fiecare secvență reală Cauchy este convergentă. Teorema.
Toate secvențele convergente au o limită?
Deci pentru toate secvențele convergente limita este unică. Notație Să presupunem că {an}n∈N este convergent. Apoi, după teorema 3.1, limita este unică și deci o putem scrie ca l, să zicem.
O secvență poate converge la două limite diferite?
înseamnă că L1 − L2=0 ⇒ L1=L2 și, prin urmare, succesiunea nu poate avea două limite diferite. Pentru acest ϵ, deoarece an converge spre L1, avem că există un indice N1 astfel încât |an −L1| N1. În același timp, an converge către L2, deci există un indice N2 astfel încât |an −L2| N2.
